为了更好地研究线性空间的结构和运算，受三维欧氏几何空间的启发，我们也把基底（basic vectors）、维数（dimension）以及坐标（coordinate）的概念引入线性空间中。
目录
1 线性空间的维数
2 线性空间的基底
2.1 基底的概念
2.2 基底的影响因素
2.3 坐标表示
3 自然基底
4 基底扩充基本定理
5 参见
6 参考资料
线性空间的维数[]
我们借助向量组的线性相关以及线性无关性来定义线性空间的维数。线性空间
V
{\displaystyle V}
中任意一组极大无关组的向量个数
n
{\displaystyle n}
称为这个线性空间的维数，记为
dim
V
=
n
{\displaystyle \dim V = n}
。
这也就是说，在这个线性空间任找一组向量，如果它们的秩不随向量组的选取而改变，那就把这个秩称为线性空间的维数。根据向量组的线性相关理论这个描述和定义是等价的。例如，对于欧氏平面，我们可以找到一个极大无关组
(
(
1
,
0
)
,
(
0
,
1
)
)
{\displaystyle ((1,0),(0,1))}
，所以这个空间是二维的。
如果这样的线性无关向量组中有无数个向量，我们称其为无限维线性空间。例如，全体
P
{\displaystyle \mathbb{P}}
上的多项式组成的集合
P
[
x
]
{\displaystyle \mathbb{P}[x]}
构成的线性空间，我们可以找到一组线性无关组
(
1
,
x
,
x
2
,
⋯
,
x
n
,
⋯
)
{\displaystyle (1, x, x^2, \cdots, x^n, \cdots)}
，其中含有无限个向量，因此它是无限维的。
线性空间的基底[]
基底的概念[]
在线性空间中，任意一个极大无关组构成的有序向量组都可以作为这个线性空间的一组基底（基向量），这样的基底显然是不唯一的，但由向量组替换定理，它们是等价的（也就是说，可以互相线性表出）。一组基中向量的个数就是这个线性空间的维数。对于无穷维线性空间，基底中向量个数也是无穷多个。
基底我们一般习惯用
(
ε
1
,
ε
2
,
⋯
,
ε
n
)
{\displaystyle (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n)}
或
(
η
1
,
η
2
,
⋯
,
η
n
)
{\displaystyle (\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n)}
表示。
例如，对于矩阵线性空间
P
2
×
2
{\displaystyle \mathbb{P}^{2 \times 2}}
，其一组基可以是
(
[
1
0
0
0
]
,
[
0
1
0
0
]
,
[
0
0
1
0
]
,
[
0
0
0
1
]
)
{\displaystyle \left(
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\right)}
基底的影响因素[]
线性空间的维数和基底除了与元素所在的集合有关（这是显然的），与其定义在哪个数域上也有关系，例如
C
{\displaystyle \mathbb{C}}
，它收集了所有形如
a
+
b
i
{\displaystyle a+b\mathrm{i}}
的复数。如果它定义在
R
{\displaystyle \R}
上，即该空间是
(
C
;
+
,
⋅
;
R
)
{\displaystyle (\mathbb{C};+,\cdot;\mathbb{R})}
，就是二维的，可以找到一组基
(
1
,
i
)
{\displaystyle (1, \mathrm{i})}
：
∀
α
∈
C
,
∃
a
,
b
∈
R
,
s
.
t
.
α
=
a
⋅
1
+
b
⋅
i
{\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb{C}, \exists a, b \in \mathbb{R}, s.t. \alpha = a \cdot 1 + b \cdot \mathrm{i}}
；如果它定义在
C
{\displaystyle \mathbb{C}}
上，即该空间是
(
C
;
+
,
⋅
;
C
)
{\displaystyle (\mathbb{C};+,\cdot;\mathbb{C})}
，就是一维的，可以找到一组基
(
1
)
{\displaystyle (1)}
（其它任意非零元都可）：
∀
α
∈
C
,
∃
a
+
b
i
∈
C
,
s
.
t
.
α
=
(
a
+
b
i
)
⋅
1
{\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb{C}, \exists a + b \mathrm{i} \in \mathbb{C}, s.t. \alpha = ( a + b \mathrm{i} ) \cdot 1}
。
坐标表示[]
由于
V
{\displaystyle V}
的一组基
(
ε
1
,
ε
2
,
⋯
,
ε
n
)
{\displaystyle (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n)}
是极大无关组，所以
∀
α
∈
V
{\displaystyle \forall \alpha \in V}
，
(
ε
1
,
ε
2
,
⋯
,
ε
n
,
α
)
{\displaystyle (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n, \alpha)}
必线性相关，所以
α
=
∑
k
=
1
n
x
k
ε
k
,
x
k
∈
P
,
k
=
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle \alpha = \sum_{k=1}^{n} x_k \varepsilon_k, \quad x_k \in \mathbb{P}, \quad k = 1,2,\cdots,n}
因此，我们把有序数组
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
{\displaystyle (x_1, x_2, \cdots, x_n)}
称为向量
α
{\displaystyle \alpha}
在基底
(
ε
1
,
ε
2
,
⋯
,
ε
n
)
{\displaystyle (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n)}
下的坐标。
这个有序数组实际上是列向量，因为上式可以形式地（参照形式矩阵的运算）写成下面的形式，但在同构意义下，行向量和列向量是一样的，因此除特殊情形外一般不再申明。
α
=
∑
k
=
1
n
x
k
ε
k
=
(
ε
1
,
ε
2
,
⋯
,
ε
n
)
(
x
1
x
2
⋮
x
n
)
{\displaystyle \alpha = \sum_{k=1}^{n} x_k \varepsilon_k = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n) \left(
\begin{matrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{matrix}
\right)}
自然基底[]
一组基中如果第
k
{\displaystyle k}
个基向量的第
k
{\displaystyle k}
个分量是
1
{\displaystyle 1}
，其余分量是
0
{\displaystyle 0}
，那么称这组基为自然基底。在这组基底下，任意一个向量
α
=
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
∈
P
n
{\displaystyle \alpha = (x_1, x_2, \cdots, x_n) \in \mathbb{P}^n}
的坐标就是其自身。自然基底有时候可以很简洁地表示其它向量。
基底扩充基本定理[]
这里我们要介绍一个很重要的关于向量组扩充为整个空间的基地的定理，这是在之后子空间的基底扩充为全空间的基底的理论依据。
设
(
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
m
)
{\displaystyle (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m)}
是数域
P
{\displaystyle \mathbb{P}}
上一
n
{\displaystyle n}
维线性空间
V
{\displaystyle V}
中的一个线性无关组，
1
⩽
m
⩽
n
{\displaystyle 1 \leqslant m \leqslant n}
，则存在
α
m
+
1
,
α
m
+
2
,
⋯
,
α
n
{\displaystyle \alpha_{m+1}, \alpha_{m+2}, \cdots, \alpha_n}
，使得
(
α
1
,
α
2
,
⋯
,
α
m
,
α
m
+
1
,
⋯
,
α
n
)
{\displaystyle (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m, \alpha_{m+1}, \cdots, \alpha_n)}
为
V
{\displaystyle V}
的一个基底。
参见[]
上一节：线性空间
下一节：线性空间的坐标变换
参考资料郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
线性代数（学科代码：1102110，GB/T 13745—2009）
矩阵
矩阵的转置 ▪ 矩阵的逆 ▪ 对角矩阵 ▪ 初等矩阵 ▪ 等价标准型 ▪ 分块矩阵 ▪ 伴随矩阵 ▪ 酉矩阵（正交矩阵） ▪ Hermite 矩阵（实对称矩阵） ▪ 正规矩阵（实正规矩阵） ▪ 幂等矩阵 ▪ 幂零矩阵 ▪ 对合矩阵 ▪ 秩一矩阵 >>另参见数值分析<<
行列式
Vandermonde 行列式 ▪ 行列式的展开 ▪ Laplace 展开 ▪ 三角行列式 ▪ 三对角行列式 ▪ 行列式的计算 ▪ 析因子法
向量组理论
向量组 ▪ 替换定理 ▪ 矩阵的秩 ▪ 矩阵的迹
线性方程组
Cramer 法则 ▪ 基础解系（解的结构）>>另参见数值分析<<
线性空间和内积空间
线性空间的维数和基底 ▪ 线性空间的坐标变换 ▪ 线性空间的同构 ▪ 线性子空间 ▪ 线性空间的直和 ▪ 维数公式 ▪ 线性空间上的线性函数 ▪ 双线性函数 ▪ 对称双线性度量空间 ▪ 正交补空间 ▪ 内积 ▪ Euclid 空间 ▪ 向量到子空间的距离 ▪ 最小二乘法 ▪ Gram-Schmidt 正交化
线性变换
线性映射 ▪ 线性变换 ▪ 线性变换的运算 ▪ 自同构变换 ▪ 线性变换的特征值和特征向量 ▪ 特征子空间 ▪ 特征多项式 ▪ 零化多项式 ▪ 最小多项式 ▪ 关联矩阵的特征根 ▪ 线性空间的直和分解 ▪ 幂等线性变换 ▪ 正交变换 ▪ 正定矩阵 ▪ 半正定矩阵
矩阵标准型
相似标准型 ▪ λ-矩阵 ▪ 数字矩阵的特征矩阵 ▪ Frobenius 标准形 ▪ Jacobson 标准形 ▪ Jordan 标准形
二次型理论
二次型（实二次型） ▪ 二次型的化简 ▪ 正定二次型 ▪ 一对实二次型同时化简
所在位置：数学（110）→ 代数学（11021）→ 线性代数（1102110）